Gavron dilahirkan di Hendon sebagai anak penulis Martha Pichey dan mendiang penerbit Simon Gavron. Ibunya adalah kelahiran Amerika manakala bapanya berasal dari sebuah keluarga Yahudi London Utara.[1][2] Datuk dan nenek sebelah bapanya ialah jutawan Robert Gavron dan Hannah Fyvel yang dilahirkan di Tel Aviv.[3] Moyangnya merupakan penulis Tosco R. Fyvel yang bekerja dengan pengarang George Orwell. Ibu saudara tirinya (saudara tiri bapanya) ialah pengarah Sarah Gavron. Gavron mempunyai dua orang adik lelaki; Benjamin (dilahirkan pada 1992) dan Moses (dilahirkan pada 1996). Dia memegang dua kerakyatan British dan Amerika.[2] Pada tahun 2008, Gavron membuat kerja sukarela di sebuah kibbutz di Israel selama enam bulan.[4]